随机过程笔记

1. 随机过程的基本概念
2. 二阶矩阵
3. 平稳过程，独立增量的基本概念
4. 均方连续满足的条件或确定性条件
   随机过程x(t)均方连续的充分必要条件是其自相关函数R_x(t1,t2)在t1=t2处连续。
5. 均方导数存在的充要条件，最优 计均方意义下
6. n元gauss分布相关统计独立的充要条件
7. 窄带高斯过程的服从的分布，以及正弦波+窄带高斯过程
8. poisson过程的 问服从的分布
9. 条件期望
10. n元高斯分布的线性变换服从的分布
11. markow链的给定状态转移矩阵，要会判断，是否是闭集，可不可约，状态直接相通的含义
12. markov链的周期性与常返性

大题题目及答案

题 3.6（题目 6）

题目

设三维 Gauss 分布随机向量 \(X=(X_1,X_2,X_3)^{\mathrm T},\) 均值为 $\boldsymbol{0}$，协方差矩阵为 \(\boldsymbol{\Sigma}=\begin{pmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{8}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}.\) 试求矩阵 $\boldsymbol{A}$，使得对 $\boldsymbol{X}$ 作线性变换 $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}$ 后，$\boldsymbol{Y}$ 的各个分量统计独立。

题 7.12（题目 12）

题目

设 Markov 链的状态空间为 ${0,1,2}$，一步转移概率矩阵为 \(\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix} 1-\alpha & \alpha & 0\\ 0 & 1-\beta & \beta\\ \gamma & 0 & 1-\gamma \end{pmatrix}, \qquad \alpha,\beta,\gamma\in(0,1).\) 该链是否可约，是否可逆，请计算其平稳分布。

例 2.2（随机电报信号）

题目与推导（题解形式）

令 $N(t)$ 为标准 Poisson 过程（强度记为 $\lambda$），定义随机电报信号 \(X(t)=X_0(-1)^{N(t)},\) 其中 $X_0$ 为等概率取 ${-1,1}$ 的随机变量，且与 $N(t)$ 相互独立。

题 2.14（题目 14）

题目

试证明：

1. 若随机过程 $X(t)$ 均方可导，则 $X(t)$ 必均方连续。
2. 设 $g(t)$ 为确定性的可微函数，$X(t)$ 为均方可导随机过程，则 $g(t)X(t)$ 均方可导，且 \([g(t)X(t)]'=g'(t)X(t)+g(t)X'(t).\)